Dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine

 Propriété  (admise)

Soit  `a`  et  `b`  deux réels et  `g`  une fonction dérivable sur un intervalle  `I` de `\mathbb R` .
Pour tout réel  `x`  tel que  `ax+b\inI` , la fonction  `f`  définie par  `f(x)=g(ax+b)`  est dérivable sur  `I` et sa dérivée est donnée, pour tout  \(x\) dans  \(I\) , par \(\boxed{f'(x)=a\times g'(ax+b)}\) .

Exemples

• `` `` Prenons pour `g`  la fonction définie sur  `\mathbb(R)` par  `g(x)=x^3` , `\color{green}{a=2}`  et  `\color{red}{b=-1}` . Alors la fonction  `f`  est la fonction définie sur  `\mathbb(R)` par  `f(x)=g(\color{green}{2}x\color{red}{-1})=(2x-1)^3` .  \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et, pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\) , \(f'(x)=2\times 3 \times (2x-1)^2 = 6(2x-1)^2\) .
  
• Prenons pour  `g`  la fonction définie sur  `[0;+\infty[`  par   `g:\sqrt(x)`  et  `\color{green}{a=5}`  et  `\color{red}{b=2}` . Or,    `\color{green}{a}x+\color{red}{b}=\color{green}{5}x+\color{red}{2}`  est positif si et seulement si   `5x+2\geq0\Leftrightarrow5x \geq -2\Leftrightarrow x\geq -2/5` .  Alors la fonction  `f`  est la fonction définie sur  \(\left[ \dfrac{-2}{5};+\infty \right[\) par `f(x)=g(5x+2)=\sqrt(5x+2)`  .      \(f\) est dérivable sur   \(\left] \dfrac{-2}{5};+\infty \right[\) et, pour tout \(x\) dans     \(\left] \dfrac{-2}{5};+\infty \right[\) , \(f'(x)=5\times \dfrac{1}{2\sqrt{5x+2}}= \dfrac{5}{2\sqrt{5x+2}}\) .